Question

如圖所示，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點，EF∩AC=O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA，PB，PD，得到五棱錐P-ABFED，且PB=

10

．
（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B-AP-O的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得BD∥EF，BD⊥AC，從而EF⊥AC，EF⊥AO，EF⊥PO，由此能證明BD⊥平面POA．
（2）設AO∩BD=H，連結BO，則△ABD是等邊三角形，從而BD=4，BH=2，HA=2

3

，HO=PO=

3

，BO=

7

，進而PO⊥BO，PO⊥平面BFED，過H作HG⊥AP，垂足為G，連結BG，∠BGH為二面角B-AP-O的平面角，由此能求出二面角B-AP-O的正切值．

解答： （1）證明：∵點E，F(xiàn)分別是邊CD、CB的中點，
∴BD∥EF，
∴菱形ABCD的對角線互相垂直，
∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，
∴EF⊥AO，EF⊥PO，
∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO=O，
∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA．
（2）解：設AO∩BD=H，連結BO，
∵∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=4，BH=2，HA=2

3

，HO=PO=

3

，
在Rt△BHO中，BO=

BH2+HO2

=

7

，
在PBO中，BO²+PO²=10=PB²，
∴PO⊥BO，
∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF?平面BFED，
∴PO⊥平面BFED，
過H作HG⊥AP，垂足為G，連結BG，
由（1）知BH⊥平面POA，且AP?平面POA，
∴BH⊥AP，
∵HG∩BH=H，HG?平面BHG，BH?平面BHG，
∴AP⊥平面BHG，BG?平面BHG，
∵BG?平面BHG，∴AP⊥BG，
∴∠BGH為二面角B-AP-O的平面角，
在Rt△POA中，AP=

AO2+PO2

=

30

，
在Rt△POA和Rt△HGA\中，∠POA=∠HGA=90°，∠APO=∠HAG，
∴△POA∽△HGA，∴

PO

HG

=

PA

HA

，
∴HG=

PO•HA

PA

=

3 ×2 3

30

=

30

5

．
在Rt△BHG中，tan∠BGH=

BH

HG

=

2

30 5

=

30

3

．
∴二面角B-AP-O的正切值為

30

3

．

點評：本題考查空間線面關系、二面角、空間向量及坐標運算等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．