【題目】已知橢圓 ,斜率為 的動(dòng)直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)設(shè)M為弦AB的中點(diǎn),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)設(shè)F1 , F2為橢圓C在左、右焦點(diǎn),P是橢圓在第一象限上一點(diǎn),滿足 ,求△PAB面積的最大值.

【答案】
(1)解:設(shè)M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),

①, ②;

①﹣②得: , ,即

又由中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部得 ,

∴M點(diǎn)的軌跡方程為 , ;


(2)解:由橢圓的方程可知:F1(﹣ ,0)F2 ,0),P(x,y)(x>0,y>0), =(﹣ ﹣x,﹣y), =( ﹣x,﹣y),

=(﹣ ﹣x,﹣y)( ﹣x,﹣y)=x2﹣3+y2=﹣ ,即x2+y2= ,

,解得: ,則P點(diǎn)坐標(biāo)為 ,…

設(shè)直線l的方程為 ,

,整理得: ,由△>0得﹣2<m<2,

, ,…

,

.…

,

當(dāng)且僅當(dāng)m2=4﹣m2,即 時(shí),取等號(hào),

∴△PAB面積的最大值1.


【解析】(1)由由 ①, ②;①﹣②得: , ,即 ,由M在橢圓內(nèi)部,則 ,即可求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;(2)由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,求得P點(diǎn)坐標(biāo),求得直線l的方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,點(diǎn)到直線的距離公式及三角形的面積公式,根據(jù)基本不等式的性質(zhì),即可求得△PAB面積的最大值.

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