【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣2)lnx﹣ax+1.
(1)若f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若存在唯一整數(shù)x0 , 使得f(x0)<0成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),

要使f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,只需f'(x)≥0,

在(1,+∞)上恒成立即可,

易知 在(1,+∞)上單調(diào)遞增,

所以只需a≤ymin即可,

易知當(dāng)x=1時,y取最小值,

∴實數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,﹣1].


(2)解:不等式f(x0)<0即(x0﹣2)lnx0<ax0﹣1,

令g(x)=(x﹣2)lnx,x>0,h(x)=ax﹣1,

,g'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

而g'(1)=﹣1<0,g'(2)=ln2>0,

∴存在實數(shù)m∈(1,2),使得g'(m)=0,

當(dāng)x∈(1,m)時,g'(x)<0,g(x)在(1,m)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(m,+∞)時,g'(x)>0,g(x)在(m,+∞)上單調(diào)遞增,

∴g(x)min=g(m).g(1)=g(2)=0,

畫出函數(shù)g(x)和h(x)的大致圖象如下,

h(x)的圖象是過定點C(0,﹣1)的直線,

由圖可知若存在唯一整數(shù)x0,使得f(x0)<0成立,

則需kBC<a≤min{kAC,kDC},

,∴kAC>kDC

,∴

于是實數(shù)a的取值范圍是


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),問題轉(zhuǎn)化為 在(1,+∞)上恒成立即可,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;(2)令g(x)=(x﹣2)lnx,x>0,h(x)=ax﹣1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的圖象求出a的范圍即可.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,/span>比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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