Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，且方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證： .

Answer 1

【答案】(1) (2) 得單增區(qū)間為， 無減區(qū)間

（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，它是切線的斜率，而切點為，因此切線方程為： .（2）函數(shù)的定義域為，而，構建新函數(shù)，可以證明在上， ，因此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為： ， ，無減區(qū)間.（3）化簡得到，其導數(shù)為，通過導數(shù)的符號討論可以得到： 在上單減函數(shù)，在上單增函數(shù)，構造新函數(shù)，可以證明當，總有，從而有，最后根據(jù)的單調(diào)性得也就是.

解析:（1）因為，所以切點為.因為，所以切線的斜率為,所以，所求的切線方程為即.

（2）的定義域為，由（1) 知，記，則，

當時， ， 在上是減函數(shù)；當時， ， 在上是增函數(shù).

所以在上的最小值為，所以恒成立，所以的單增區(qū)間為， ，無減區(qū)間.

（3）， ，

當， 在上單減函數(shù)；

當時， ， 在上單增函數(shù).

又當時， ，當時， ，所以可設

構造函數(shù)，則

當時， ，則， 在上單調(diào)遞減，又，

所以，由，得，

所以，又， 在上單調(diào)遞増，所以，即，故.