Question

【題目】已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過做的垂線交橢圓于點(diǎn)，.

（1）證明：線段平分線段（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（2）當(dāng)最小時，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或.

【解析】

（1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，可得直線的斜率，討論與兩種情況，設(shè)直線的方程是，，；聯(lián)立直線與橢圓方程，即可用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，即可證明結(jié)論.

（2）由（1）結(jié)合弦長公式，表示出，即可得，結(jié)合基本不等式即可求得最小值及最小值時的值，進(jìn)而得點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）證明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，

設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，

所以得坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

則直線的斜率，

當(dāng)時，直線的斜率，

直線的方程是，

當(dāng)時，直線的方程，

也符合方程的形式，

設(shè)，，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得：

消去得，

有，

設(shè)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

， ，

所以直線的斜率，又因為直線的斜率，

所以點(diǎn)在直線上，因此線段平分線段.

（2）由（1）知，，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，

即時等號成立，此時取得最小值，

點(diǎn)的坐標(biāo)為或