Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx+

1

2

cos2x+1．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時的x值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)倍角公式化簡可得解析式f（x）=sin(2x+

π

6

)+1，從而根據(jù)周期公式可求解．
（Ⅱ）由已知可得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，從而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時的x值．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）因為 f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+1…（4分）
=sin(2x+

π

6

)+1…（6分）
所以T=

2π

2

=π．…（7分）
（Ⅱ）因為f(x)=sin(2x+

π

6

)+1，0≤x≤

π

2

，
所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

．…（9分）
所以當2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

時，
函數(shù)f（x）的最大值是2．…（13分）

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查．