Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，cos∠A₁DD₁=

DD1

DA1

=

3 10

10

，DBB₁，∠A₁DD₁是AB₁的中點．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角DO的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明線面平行常用以下兩種方法：一是用線面平行的判定定理，二是用面面平行的性質．本題用這兩種方法都行；
（Ⅱ）首先應考慮作出平面DBB₁截三棱柱所得的截面．作出該截面便很容易得到二面角的平面角即為∠A₁DD₁．本題也可用向量解決．

解答： 解：（Ⅰ）法一：連結AB₁，交A₁B于O，連結DO，則B₁C∥DO，從而 B₁C∥平面A₁BD．


法二：取A₁C₁的中點D₁，連結CD₁，易得平面CB₁D₁∥DBA₁，從而 B₁C∥平面A₁BD．
（Ⅱ）A₁C₁的中點D₁，連結DD₁、D₁B₁，易得平面DBB₁D₁就是平面DBB₁，
又BD⊥平面ACC₁A₁，所以BD⊥A₁D，BD⊥DD₁，
所以∠A₁DD₁就是該二面角的平面角.cos∠A1DD1=

DD1

DA1

=

3 10

10

．

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，二面角的平面角的求法，考查計算能力．