Question

若半徑均為2的四個(gè)球，每個(gè)球都與其他三個(gè)球外切，另有一個(gè)小球與這四個(gè)球都外切，則這個(gè)小球的半徑為（　�。�

• A、

  6

  -

  2

• B、

  6

  -2
• C、

  10

  -3
• D、2

  2

  -2

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離,球

分析：將這四個(gè)球的球心連接成一個(gè)正四面體，并根據(jù)四球外切，得到四面體的棱長(zhǎng)為2，求出外接球半徑，由于這四個(gè)球之間有一個(gè)小球和這四個(gè)球都外切，則小球的球心與四面體外接球球心重合，進(jìn)而再由小球與其它四球外切，球心距（即正四面體外接球半徑）等于大球半徑與小球半徑之和，得到答案．

解答： 解：連接四個(gè)球的球心，得到一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正四面體，
可將該正四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a，則有4=

2

a，
由正方體的對(duì)角線長(zhǎng)即為球的直徑，可得

3

a=2r，
則該正四面體的外接球半徑為

6

，
若這四個(gè)球之間有一個(gè)小球和這四個(gè)球都外切，
則小球的球心與四面體的外接球球心重合，
因?yàn)橛尚∏蚺c其它四球外切，
所以球心距（即正四面體外接球半徑）等于大球半徑與小球半徑之和，
所以小球的半徑為

6

-2．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，球的結(jié)構(gòu)特征，其中根據(jù)已知條件求出四個(gè)半徑為2的球球心連接后所形成的正四面體的棱長(zhǎng)及外接球半徑的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．