【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3﹣12x+4,x∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=a有3個(gè)不同實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵f(x)=x3﹣12x+4,
∴f′(x)=3x2﹣12=3(x+2)(x﹣2)
令f′(x)=0得:x1=﹣2,x2=2
當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:
x | (﹣∞,﹣2) | ﹣2 | (﹣2,2) | 2 | (2,+∞) |
f'(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 增 | 極大 | 減 | 極小 | 增 |
所以f(x)的增區(qū)間是(﹣∞,﹣2)和(2,+∞),減區(qū)間是(﹣2,2);
當(dāng)x=﹣2時(shí),f(x)取得極大值,極大值f(﹣2)=20;
當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得極小值,極小值f(2)=﹣12
(2)解:由(1)可知y=f(x)圖象的大致形狀及走向:
∴當(dāng)﹣12<a<20時(shí),直線y=a與y=f(x)的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn),
即當(dāng)﹣12<a<20時(shí)方程f(x)=a有三解
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),進(jìn)而分析導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間上的符號(hào),進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為正,對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;導(dǎo)函數(shù)為負(fù),對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,得到f(x)的單調(diào)區(qū)間;再由左增右減對(duì)應(yīng)函數(shù)的極大值,左減右增,對(duì)應(yīng)函數(shù)的極小值,得到f(x)的極值;(2)由(1)作出函數(shù)f(x)的草圖,進(jìn)而得到方程f(x)=a有3個(gè)不同實(shí)根,可轉(zhuǎn)化為a值,介于函數(shù)的兩極值之間,進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=(|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2),若對(duì)于任意x∈R,都有f(x﹣2)≤f(x),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[﹣ , ]
B.[﹣ , ]
C.[﹣ , ]
D.[﹣ , ]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)盒子裝有六張卡片,上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)?/span>的函數(shù):
(1)現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片,將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù),求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率;
(2)現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取,否則繼續(xù)進(jìn)行,求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ﹣ )=1,A,B分別為C與x軸,y軸的交點(diǎn).
(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程,并求A,B的極坐標(biāo);
(2)設(shè)M為曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), =λ (λ>0),| || |=2,求動(dòng)點(diǎn)Q的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣12x.
(1)求f′(1)的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的方程的三個(gè)實(shí)根分別為一個(gè)橢圓,一個(gè)拋物線,一個(gè)雙曲線的離心率,則的取值范圍( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:①起步價(jià)3km(含3km)為10元;②超過3km以外的路程按2元/km收費(fèi);③不足1km按1km計(jì)費(fèi).
(1)試寫出收費(fèi)y元與x(km)(0<x≤5)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若某人乘出租車花了24元錢,求此人乘車?yán)锍蘹km的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線: ,焦點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(不垂直軸)過點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn),直線與的斜率之積為.
(1)求拋物線的方程;
(2)若為線段的中點(diǎn),射線交拋物線于點(diǎn),求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),求的最小值;
(2)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)若對(duì)任意恒成立,求的取值范圍.
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