【題目】已知拋物線: ,焦點, 為坐標(biāo)原點,直線(不垂直軸)過點且與拋物線交于兩點,直線與的斜率之積為.
(1)求拋物線的方程;
(2)若為線段的中點,射線交拋物線于點,求證: .
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)設(shè)經(jīng)過焦點的直線方程為,聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程,寫出韋達(dá)定理,根據(jù)斜率之積等于求出的值,由此求得拋物線方程;(2)利用(1)求得點的坐標(biāo),利用直線的方程求出點的坐標(biāo),兩者橫坐標(biāo)的比值大于,得證.
試題解析:
∵直線過點且與拋物線交于兩點, ,
設(shè),直線(不垂直軸)的方程可設(shè)為.
∴,
∵直線與的斜率之積為,
∴,∴,得,
由,化為,
其中,
∴,
∴,拋物線.
(2)證明:設(shè),∵為線段的中點,
∴,
∴直線的斜率為,
直線的方程為代入拋物線的方程,
得,∴,
∵,∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè).
①若函數(shù)在處的切線過點,求的值;
②當(dāng)時,若函數(shù)在上沒有零點,求的取值范圍.
(2)設(shè)函數(shù),且,求證: 當(dāng)時,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓經(jīng)過點,圓的圓心在圓的內(nèi)部,且直線被圓所截得的弦長為.點為圓上異于的任意一點,直線與軸交于點,直線與軸交于點.
(1)求圓的方程;
(2)求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點在軸上,離心率,且橢圓經(jīng)過點,過橢圓的左焦點且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于,兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)線段的垂直平分線與軸交于點,求△的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,若在區(qū)間上的最小值為,求的取值范圍;
(2)若對任意,且恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題:直線與圓有兩個交點;命題: .
(1)若為真命題,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若為真命題, 為假命題,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動圓與圓相切,且與圓相內(nèi)切,記圓心的軌跡為曲線;設(shè)為曲線上的一個不在軸上的動點,為坐標(biāo)原點,過點作的平行線交曲線于兩個不同的點.
(1)求曲線的方程;
(2)試探究和的比值能否為一個常數(shù)?若能,求出這個常數(shù),若不能,請說明理由;
(3)記的面積為,的面積為,令,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,對稱軸為軸,焦點為,拋物線上一點的橫坐標(biāo)為2,且.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點作直線交拋物線于兩點,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,平面,四邊形是直角梯形,其中,. ,.
(1)求異面直線與所成角的大;
(2)若平面內(nèi)有一經(jīng)過點的曲線,該曲線上的任一動點都滿足與所成角的大小恰等于與所成角.試判斷曲線的形狀并說明理由;
(3)在平面內(nèi),設(shè)點是(2)題中的曲線在直角梯形內(nèi)部(包括邊界)的一段曲線上的動點,其中為曲線和的交點.以為圓心,為半徑的圓分別與梯形的邊、交于、兩點.當(dāng)點在曲線段上運(yùn)動時,試求圓半徑的范圍及的范圍.
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