Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-2x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若存在x∈[

1

2

，2]，使不等式f（x）＜mx成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出f（0）=1，f′（0）=-1，由此能求出曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程．
（Ⅱ）由f′（x）=e^x-2，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）由題意知?x∈[

1

2

，2]，使f（x）＜mx成立，從而得到m＞（

ex-2x

x

）_min，由此利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-2x，
∴f（0）=1，f′（x）=e^x-2，
∴f′（0）=-1，
∴曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=-x+1．
（Ⅱ）f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=0，解得x=ln2，
當(dāng)x∈（-∞，ln2）時，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（ln2，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，ln2），單調(diào)增區(qū)間是（ln2，+∞）．
（Ⅲ）由題意知?x∈[

1

2

，2]，使f（x）＜mx成立，
即?x∈[

1

2

，2]，使m＞

ex-2x

x

成立，
∴m＞（

ex-2x

x

）_min，
令g(x)=

ex

x

-2，則g′（x）=

(x-1)ex

x2

，
∴g（x）在[

1

2

，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（1）=e-2，
∴m∈（e-2，+∞）．

點評：本題考查切線方程的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．