【題目】已知函數(shù),.
(1)若曲線在處的切線方程為,求實數(shù)的值;
(2)設(shè),若對任意兩個不等的正數(shù),,都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若在上存在一點,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
試題分析:(1)借助題設(shè)條件運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求解;(2)借助題設(shè)運用轉(zhuǎn)化化歸的思想進行轉(zhuǎn)化再運用導(dǎo)數(shù)知識求解;(3)依據(jù)題設(shè)先將問題進行轉(zhuǎn)化,再借助導(dǎo)數(shù)知識分類整合思想分類探求求解.
試題解析:
(1)由,得,
由題意,所以.
(2),
因為對任意兩個不等的正數(shù),,都有,
設(shè),則,即恒成立,
問題等價于函數(shù),即在為增函數(shù),
所以在上恒成立,即在上恒成立,
所以,即實數(shù)的取值范圍是.
(3)不等式等價于,
整理得,
設(shè),由題意知,在上存在一點,使得,
由,
因為,所以,令,得.
①當(dāng),即時,在上單調(diào)遞增,
只需,解得.
②當(dāng),即時,在處取最小值,
令,即,可得,
考查式子,因為,可得左端大于1,而右端小于1,所以不等式不可能成立.
③當(dāng),即時,在上單調(diào)遞減,
只需,解得.
綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 “中國式過馬路”是網(wǎng)友對部分中國人集體闖紅燈現(xiàn)象的一種調(diào)侃,即“湊夠一撮人就可以走了,和紅綠燈無關(guān).”出現(xiàn)這種現(xiàn)象是大家受法不責(zé)眾的“從眾”心理影響,從而不顧及交通安全.某校對全校學(xué)生過馬路方式進行調(diào)查,在所有參與調(diào)查的人中,“跟從別人闖紅燈”“從不闖紅燈”“帶頭闖紅燈”人數(shù)如表所示:
跟從別人闖紅燈 | 從不闖紅燈 | 帶頭闖紅燈 | |
男生 | 800 | 450 | 200 |
女生 | 100 | 150 | 300 |
(Ⅰ)在所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取n人,已知“跟從別人闖紅燈”的人抽取了45 人,求n的值;
(Ⅱ)在“帶頭闖紅燈”的人中,將男生的200人編號為1,2,…,200;將女生的300人編號為201,202,…,500,用系統(tǒng)抽樣的方法抽取4人參加“文明交通”宣傳活動,若抽取的第一個人的編號為100,把抽取的4人看成一個總體,從這4人中任選取2人,求這兩人均是女生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣,利用簡單隨機抽樣的方法在全校一年級學(xué)生中進行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:
喜歡甜品 | 不喜歡甜品 | 合計 | |
南方學(xué)生 | 60 | 20 | 80 |
北方學(xué)生 | 10 | 10 | 20 |
合計 | 70 | 30 | 100 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,你能否提出更好的調(diào)查方法來了解該校大學(xué)新生的飲食習(xí)慣,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為(),曲線的參數(shù)方程為
(1)寫出直線及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)過點平行于直線的直線與曲線交于、兩點,若,求點軌跡的直角坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,四邊形為矩形,△為等腰三角形,,平面平面,且,,,分別為,的中點.
(1)證明:平面;
(2)證明:平面平面;
(3)求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點處下上至處有兩種路徑.一種是從沿直線步行到,另一種是先從沿索道乘纜車到,然后從沿直線步行到.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山,甲沿勻速步行,速度為.在甲出發(fā)后,乙從乘纜車到,在處停留后,再從勻速步行到,假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為,山路長為1260,經(jīng)測量,.
(1)求索道的長;
(2)問:乙出發(fā)多少后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在處互相等待的時間不超過,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD是塊矩形硬紙板,其中AB=2AD,AD=,E為DC的中點,將它沿AE折成直二面角D-AE-B.
(1)求證:AD⊥平面BDE;
(2)求二面角B-AD-E的余弦值.
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