Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+1．
（1）若

1

3

≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，求證：g(a)≥

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）配方，確定函數(shù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，即可得到M（a）的表達(dá)式，然后確定N（a）=f（

1

a

），即可求得g（a）的表達(dá)式．
（2）由（1）的結(jié)論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g（a）的單調(diào)性，得出最小值即得結(jié)論成立．

解答： 解：（1）∵f（x）=a(x-

1

a

)2+1-

1

a

，
又

1

3

≤a≤1，得1≤

1

a

≤3，
當(dāng)1≤

1

a

＜2，即

1

2

＜a≤1時(shí)，M（a）=f（3）=9a-5，
當(dāng)2≤

1

a

≤3，即

1

3

≤a≤

1

2

時(shí)，M（a）=f（1）=a-1，
∴即

1

3

≤a≤

1

2

，M（a）=

9a-5，   1 2 ＜a≤1 a-1，    1 3 ≤a≤ 1 2

∵

1

3

≤a≤1
∴1≤

1

a

≤3
∴N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

，
當(dāng)1≤

1

a

＜2，即

1

2

＜a≤1時(shí)，g（a）=M（a）-N（a）=9a-6+

1

a

，
當(dāng)2≤

1

a

≤3，即

1

3

≤a≤

1

2

時(shí)，g（a）=M（a）-N（a）=a-2+

1

a

．
綜上所述：g（a）=

9a-6+ 1 a   ，    1 2 ＜a≤1 a-2+ 1 a   ，    1 3 ≤a≤ 1 2

．
（2）由（1）得當(dāng)

1

2

＜a≤1時(shí)，g（a）=M（a）-N（a）=9a-6+

1

a

，
∴g′（a）=9-

1

a2

＞0，故g（a）在（

1

2

，1]是增函數(shù)；
當(dāng)

1

3

≤a≤

1

2

時(shí)，g（a）=M（a）-N（a）=a-2+

1

a

，
g′（a）=1-

1

a2

＜0，故g（a）在[

1

3

，

1

2

]是減函數(shù)；
∴當(dāng)a=

1

2

時(shí)，g（a）_min=g（

1

2

）=

1

2

，
∴g(a)≥

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵．