Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+

π

4

）（A＞0，ω＞0）的振幅為2，其圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為

π

3

．
（Ⅰ）若f（

2

3

α+

π

12

）=

6

5

，0＜α＜π，求sinα；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）-k是在[0，

11

36

π]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,兩角和與差的正弦函數(shù)

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象性質(zhì)可求得A=2，T=

2π

3

，解得ω=3，于是可得函數(shù)y=f（x）的解析式，從而可由f（

2

3

α+

π

12

）=

6

5

，0＜α＜π，求得sinα；
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，可求得g（x）=2sin（3x-

π

4

），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值可求得x∈[0，

11

36

π]時(shí)該函數(shù)的值域，利用y=g（x）與y=k在[0，

11

36

π]上有交點(diǎn)，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，A=2，T=

2π

ω

=

2π

3

，∴ω=3，∴f（x）=2sin（3x+

π

4

）…2分
又f（

2

3

α+

π

12

）=2sin[3（

2α

3

+

π

12

）+

π

4

]=2sin（2α+

π

2

）=2cos2α=

6

5

，
∴cos2α=

3

5

…4分
∴sin²α=

1-cos2α

2

=

1

5

，
又0＜α＜π，∴sinα=

5

5

…6分
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位得到y(tǒng)=g（x）=2sin[3（x-

π

6

）+

π

4

]
=2sin（3x-

π

4

）的圖象，…8分
則函數(shù)y=g（x）-k=2sin（3x-

π

4

）-k，
∵x∈[0，

11

36

π]，∴3x-

π

4

∈[-

π

4

，

2π

3

]，
∴-

2

≤2sin（3x-

π

4

）≤2…11分
∵函數(shù)y=g（x）-k在[0，

11

36

π]上有零點(diǎn)，
∴y=g（x）與y=k在[0，

11

36

π]上有交點(diǎn)，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-

2

，2]…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象性質(zhì)與圖象變換，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．