Question

已知{an}是等差數(shù)列，其前n項的和為Sn， {bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，S4＋b4＝30．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；

（2）記cn＝anbn，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項和．

 

Answer 1

（1）an＝n＋1，bn＝2n；（2）Tn＝n·2n＋1.

【解析】試題分析：（1）利用數(shù)列的通項公式與前n項和公式，得到首項和公比、公差的方程，求出數(shù)列的首項公比和公差，得到數(shù)列的通項；（2）本小題是一個等差與等比的積形成的數(shù)列，可以利用錯位相減法求和．

試題解析：（1）設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．

由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．

由條件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程組解得

所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*．

（2）由題意知，cn＝（n＋1）×2n．

記Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn．

則Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn

＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1＋（n＋1）×2n，

2 Tn＝ 2×22＋3×23＋…＋（n－1）×2n－1＋n×2n＋ （n＋1）2n＋1，

所以－Tn＝2×2＋（22＋23＋…＋2n ）－（n＋1）×2n＋1，

即Tn＝n·2n＋1，n∈N*．

考點：等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式，遞推數(shù)列，錯位相減法求和