Question

如圖，邊長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是B₁C，D₁C₁的中點(diǎn)，則△AEF在面BB₁D₁D上的射影的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平行投影及平行投影作圖法

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)正方體的幾何特征，可得AC⊥面BB₁D₁D，結(jié)合正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的邊長為1，E，F(xiàn)分別是B₁C，D₁C₁的中點(diǎn)，可得到△AEF在面BB₁D₁D上的射影，進(jìn)而利用割補(bǔ)法得到其面積．

解答：解：根據(jù)正方體的幾何特征，可得AC⊥面BB₁D₁D，
又由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的邊長為1，E，F(xiàn)分別是B₁C，D₁C₁的中點(diǎn)，
令A(yù)，E，F(xiàn)三點(diǎn)在面BB₁D₁D上的射影分別為P，Q，R，如下圖所示：

其中P是BD的中點(diǎn)，Q是中位線GH的四等分點(diǎn)，R為B₁D₁的四等分點(diǎn)，
∴D₁R=HQ=

2

4

，B₁R=

3 2

4

，BP=DP=

2

2

，
故△AEF在面BB₁D₁D上的射影的面積S=1×

2

-

1

2

（

2

4

+

2

2

）×1-

1

2

（

2

4

+

2

2

）×

1

2

-

1

2

（

2

4

+

3 2

4

）×1=

3 2

16

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是平行投影及平行投影作圖，其中分析出投影的形狀是解答的關(guān)鍵．