【題目】已知函數(shù)f(x)=ex , g(x)= x2+x+1,則與f(x),g(x)的圖象均相切的直線方程是 .
【答案】y=x+1
【解析】解:設(shè)所求直線l與函數(shù)f(x)的圖象相切,切點(diǎn)為(t,et),
函數(shù)f(x)=ex,導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex,
則直線l的方程為y﹣et=et(x﹣t),即y=etx+et(1﹣t),
直線l與函數(shù)g(x)的圖象相切的充要條件是關(guān)于x的方程etx+et(1﹣t)= x2+x+1,
即 x2+(1﹣et)x+1﹣et(1﹣t)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,
∴△=e2t﹣2et+1﹣2+2et(1﹣t)=0,
化為e2t﹣2tet﹣1=0,
設(shè)φ(t)=e2t﹣2tet﹣1,
φ′(t)=2e2t﹣2(t+1)et=2et(et﹣t﹣1),
由h(t)=et﹣t﹣1的導(dǎo)數(shù)為h′(t)=et﹣1,
當(dāng)t>0時(shí),h(t)遞增;當(dāng)t<0時(shí),h(t)遞減.
可得h(t)≥h(0)=0,
即有φ′(t)≥0,即φ(t)在R上遞增,
由φ(0)=0,e2t﹣2tet﹣1=0的解為t=0,
存在唯一一條直線l與函函數(shù)f(x)與g(x)的圖象均相切,
其方程為y=x+1.
所以答案是:y=x+1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,過(guò)左焦點(diǎn)F且垂直于x軸的弦長(zhǎng)為1.
(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)點(diǎn)P(m,0)為橢圓C的長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P且斜率為 的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),問(wèn):|PA|2+|PB|2是否為定值?若是,求出這個(gè)定值并證明,否則,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖像時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:
0 | |||||
0 | 5 | 0 | -5 | 0 |
(1)求出實(shí)數(shù);
(2)求出函數(shù)的解析式;
(3)將圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到圖像,求的圖像離原點(diǎn)最近的對(duì)稱(chēng)中心.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某生產(chǎn)旅游紀(jì)念品的工廠,擬在2017年度進(jìn)行系列促銷(xiāo)活動(dòng),經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算,該紀(jì)念品的年銷(xiāo)售量 (單位:萬(wàn)件)與年促銷(xiāo)費(fèi)用 (單位:萬(wàn)元)之間滿足 于 成反比例.若不搞促銷(xiāo)活動(dòng),紀(jì)念品的年銷(xiāo)售量只有1萬(wàn)件.已知加工廠2017年生產(chǎn)紀(jì)念品的固定投資為3萬(wàn)元,沒(méi)生產(chǎn)1萬(wàn)件紀(jì)念品另外需要投資32萬(wàn)元.當(dāng)工廠把每件紀(jì)念品的售價(jià)定為“年平均每件生產(chǎn)成本的1.5倍”與“年平均每件所占促銷(xiāo)費(fèi)的一半”之和時(shí),則當(dāng)年的產(chǎn)量和銷(xiāo)量相等.(利潤(rùn)=收入-生產(chǎn)成本-促銷(xiāo)費(fèi)用)
(Ⅰ)請(qǐng)把該工廠2017年的年利潤(rùn) (單位:萬(wàn)元)表示成促銷(xiāo)費(fèi) (單位:萬(wàn)元)的函數(shù);
(Ⅱ)試問(wèn):當(dāng)2017年的促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí),該工程的年利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,當(dāng) 時(shí),函數(shù) 取得極值 .
(Ⅰ)求函數(shù) 的解析式;
(Ⅱ)若方程 有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一只小船以的速度由南向北勻速駛過(guò)湖面,在離湖面高20米的橋上,一輛汽車(chē)由西向東以的速度前進(jìn)(如圖),現(xiàn)在小船在水平面上的點(diǎn)以南的40米處,汽車(chē)在橋上點(diǎn)以西的30米處(其中水平面),請(qǐng)畫(huà)出合適的空間圖形并求小船與汽車(chē)間的最短距離.(不考慮汽車(chē)與小船本身的大。.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是四棱錐的平面展開(kāi)圖,其中四邊形ABCD為正方形,E,F,G,H分別為PA,PD,PC,PB的中點(diǎn),在此幾何體中,給出下面四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A. 平面平面ABCD
B. 直線BE,CF相交于一點(diǎn)
C. EF//平面BGD
D. 平面BGD
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.向量 =(a, b)與 =(cosA,sinB)平行. (Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a= ,b=2,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù), 是偶函數(shù).
(1)求和的值;
(2)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性;若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),若存在,使不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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