【題目】某生產(chǎn)旅游紀念品的工廠,擬在2017年度進行系列促銷活動,經(jīng)市場調查和測算,該紀念品的年銷售量 (單位:萬件)與年促銷費用 (單位:萬元)之間滿足 于 成反比例.若不搞促銷活動,紀念品的年銷售量只有1萬件.已知加工廠2017年生產(chǎn)紀念品的固定投資為3萬元,沒生產(chǎn)1萬件紀念品另外需要投資32萬元.當工廠把每件紀念品的售價定為“年平均每件生產(chǎn)成本的1.5倍”與“年平均每件所占促銷費的一半”之和時,則當年的產(chǎn)量和銷量相等.(利潤=收入-生產(chǎn)成本-促銷費用)
(Ⅰ)請把該工廠2017年的年利潤 (單位:萬元)表示成促銷費 (單位:萬元)的函數(shù);
(Ⅱ)試問:當2017年的促銷費投入多少萬元時,該工程的年利潤最大?
【答案】解:(Ⅰ)設反比例系數(shù)為 ( ).由題意有 .
又 時, ,所以 , ,
則 與 的關系是 ( ),
依據(jù)題意,可知工廠生產(chǎn) 萬件紀念品的生產(chǎn)成本為 萬元,促銷費用為 萬元,則每件紀念品的定價為 元/件,
于是 ,進一步化簡,得 ( ).
因此工廠2017年的利潤為 ( ).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ( ) ,
當且僅當 ,即 時取等號,
所以當2017年的促銷費用投入7萬元時,工廠的年利潤最大,最大利潤為42萬元.
【解析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)的定義結合同意代入數(shù)值求出k的值,進而通過x表示出年利潤y的代數(shù)式,對其化簡整理即可得到函數(shù)式。(2)根據(jù)題意利用基本不等式求出最值即可。
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【題目】甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標的概率分別是 和 .假設兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響;每人各次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響.
(1)求甲射擊4次,至少有1次未擊中目標的概率;
(2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率.
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【題目】已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)判斷的單調性,并用單調性定義證明;
(3)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx與g(x)=log4(a2x﹣a),其中f(x)是偶函數(shù).
(1)求實數(shù)k的值;
(2)求函數(shù)g(x)的定義域;
(3)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】一只小船以的速度由南向北勻速駛過湖面,在離湖面高20米的橋上,一輛汽車由西向東以的速度前進(如圖),現(xiàn)在小船在水平面上的點以南的40米處,汽車在橋上點以西的30米處(其中水平面),請畫出合適的空間圖形并求小船與汽車間的最短距離.(不考慮汽車與小船本身的大小).
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【題目】如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點,PA⊥底面ABCD,PA=.
(1)證明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P的大。
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【題目】生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x千件,需要另投入成本為C(x),當年產(chǎn)量不足80千件時,C(x)= +20x(萬元),當年產(chǎn)量不小于80千件時,C(x)=51x+ ﹣1450(萬元),通過市場分析,每件商品售價為0.05萬元時,該商品能全部售完.
(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式(利潤=銷售額﹣成本);
(2)年產(chǎn)量為多少千件時,生產(chǎn)該商品獲得的利潤最大.
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