【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,過左焦點(diǎn)F且垂直于x軸的弦長為1.
(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)點(diǎn)P(m,0)為橢圓C的長軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P且斜率為 的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),問:|PA|2+|PB|2是否為定值?若是,求出這個(gè)定值并證明,否則,請(qǐng)說明理由.
【答案】解:( I)由過左焦點(diǎn)F且垂直于x軸的弦長為1,
可知橢圓C過點(diǎn) ,∴ ,
又∵e= = ,a2=b2+c2;
三式聯(lián)立解得 ,
∴橢圓的方程為 +y2=1;
( II)設(shè)P(m,0)(且﹣2≤m≤2),由已知,直線l的方程是y= (x﹣m),
由 ,消去y得,2x2﹣2mx+m2﹣4=0,(*)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1、x2是方程(*)的兩個(gè)根,
所以有,x1+x2=m,x1x2= ,
所以,|PA|2+|PB|2=(x1﹣m)2+y12+(x2﹣m)2+y22
=(x1﹣m)2+ (x1﹣m)2+(x2﹣m)2+ (x2﹣m)2
= [(x1﹣m)2+(x2﹣m)2]
= [x12+x22﹣2m(x1+x2)+2m2]
= [(x1+x2)2﹣2m(x1+x2)﹣2x1x2+2m2]
= [m2﹣2m2﹣(m2﹣4)+2m2]=5(為定值);
所以,|PA|2+|PB|2為定值
【解析】(Ⅰ)利用橢圓長軸長設(shè)出橢圓方程,利用點(diǎn)在橢圓上,求出b,即可得到橢圓方程.(Ⅱ)設(shè)出P,直線l的方程,聯(lián)立直線與橢圓方程,設(shè)出A、B坐標(biāo),通過根與系數(shù)的關(guān)系,計(jì)算|PA|2+|PB|2,化簡求解即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了普及環(huán)保知識(shí),增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí),在全校組織了一次有關(guān)環(huán)保知識(shí)的競(jìng)賽.經(jīng)過初賽、復(fù)賽,甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)(每隊(duì)3人)進(jìn)入了決賽,規(guī)定每人回答一個(gè)問題,答對(duì)為本隊(duì)贏得10分,答錯(cuò)得0分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為 ,乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為 , , ,且各人回答正確與否相互之間沒有影響,用ξ表示乙隊(duì)的總得分. (Ⅰ)求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)求甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于30分且甲隊(duì)獲勝的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是60名男生每分鐘脈搏跳動(dòng)次數(shù)的頻率分布表.
分組 | 頻數(shù) | 頻率 | |
[51.5,57.5) | 4 | 0.067 | 0.011 |
[57.5,63.5) | 6 | 0.1 | 0.017 |
[63.5,69.5) | 11 | 0.183 | 0.031 |
[69.5,75.5) | 20 | 0.333 | 0.056 |
[75.5,81.5) | 11 | 0.183 | 0.031 |
[81.5,87.5) | 5 | 0.083 | 0.014 |
[87.5,93.5] | 3 | 0.05 | 0.008 |
(1)作出其頻率分布直方圖;
(2)根據(jù)直方圖的各組中值估計(jì)總體平均數(shù);
(3)估計(jì)每分鐘脈搏跳動(dòng)次數(shù)的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是 和 .假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響;每人各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響.
(1)求甲射擊4次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率;
(2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣lnx﹣a(a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若a∈(0,+∞),x∈(1,+∞),證明:f(x)<axlnx.
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