【題目】如圖,平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,點(diǎn)E、F、G分別為線段PA、PD和CD的中點(diǎn).

(1)求異面直線EG與BD所成角的大。

(2)在線段CD上是否存在一點(diǎn)Q,使得點(diǎn)A到平面EFQ的距離恰為?若存在,求出線段CQ的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)線段CQ的長(zhǎng)度為 .

【解析】

1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),射線AB,AD,AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建系如圖示,寫(xiě)出點(diǎn)E00,1)、G12,0)、B20,0)、D02,0),和向量 的坐標(biāo),利用異面直線EGBD所成角公式求出異面直線EGBD所成角大小即可;

2)對(duì)于存在性問(wèn)題,可先假設(shè)存在,即先假設(shè)在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足條件,設(shè)點(diǎn)Qx0,20),平面EFQ的法向量為 ,再點(diǎn)A到平面EFQ的距離,求出x0,若出現(xiàn)矛盾,則說(shuō)明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.

解:(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),射線AB,ADAZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示,點(diǎn)E0,01)、G1,20)、B2,0,0)、D0,2,0),

,

設(shè)異面直線EGBD所成角為θ,

所以異面直

EGBD所成角大小為

2)假設(shè)在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足條件,

設(shè)點(diǎn)Qx0,2,0),平面EFQ的法向量為 ,

則有 得到y0,zxx0,取x1

所以 ,

,

x00,解得 ,

所以點(diǎn)

所以在線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足條件,且線段CQ的長(zhǎng)度為

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(2)假設(shè)這名運(yùn)動(dòng)員投籃3次,每次投進(jìn)得1分,未投進(jìn)得0分;在3次投籃中,若有2次連續(xù)投進(jìn),而另外一次未投進(jìn),則額外加1分;若3次全投進(jìn),則額外加3分,記為該籃球運(yùn)動(dòng)員投籃3次后的總分?jǐn)?shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).

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(2)已知今年有150名學(xué)生報(bào)名學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程,以前兩年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績(jī)的頻率作為今年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績(jī)的概率.

①在今年參與大學(xué)先修課程的學(xué)生中任取一人,求他獲得某高校自主招生通過(guò)的概率;

②某班有4名學(xué)生參加了大學(xué)先修課程的學(xué)習(xí),設(shè)獲得某高校自主招生通過(guò)的人數(shù)為,求的分布列,并求今年全校參加大學(xué)先修課程的學(xué)生獲得大學(xué)自主招生通過(guò)的人數(shù).

參考數(shù)據(jù):

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