Question

【題目】對于給定的正整數(shù)k，若正項(xiàng)數(shù)列滿足，對任意的正整數(shù)n（）總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.

（1）證明：若是正項(xiàng)等比數(shù)列，則是“數(shù)列”；

（2）已知正項(xiàng)數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，

①證明：是等比數(shù)列；

②若，，且存在，使得為數(shù)列中的項(xiàng)，求q的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析②

【解析】

（1）是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則，得到答案.

（2）①，，，，變換得到，得到證明.

②，根據(jù)題意存在，使得，即，討論和，兩種情況，分別計(jì)算得到答案.

（1）是“數(shù)列”，理由如下：

因?yàn)?/span>是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為q.

當(dāng)時(shí)，有.

所以是“數(shù)列”.

（2）①因?yàn)?/span>既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，

所以，，①，，.②

出①得，，，③，，.④

③④②得，，.

因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，.

所以數(shù)列從第3項(xiàng)起成等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為.

①中，令得，，所以.

①中，令得，，所以.

所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.

②由①知，是等比數(shù)列，又因?yàn)?/span>，則公比為q，故，

所以存在，使得為數(shù)列中的項(xiàng)，

即存在，使得，

即，也即（*），

因?yàn)?/span>，若，（*）式不成立；

則，故，因?yàn)?/span>，，故，

若，（*）式不成立；

若，則符合題意；

若，則，（*）式不成立；

所以.