Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間（為自然對數(shù)的底數(shù)）上有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若在（為自然對數(shù)的底數(shù)）上存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或（2）.

【解析】

（1）求得，對的范圍分類，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合即可判斷函數(shù)在區(qū)間上是否有唯一的零點(diǎn)，問題得解。

（2）將問題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)在上的最小值小于零.求得，對的范圍分類即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求得的最小值，問題得解。

（1），其中.

①當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增，

又∵，函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，符合題意.

②當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減，

又∵，函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，符合題意.

③當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，

又∵，∴，

∴函數(shù)在區(qū)間有唯一的零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)符合題意，即，

∴時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)；

∴的取值范圍是.

（2）在上存在一點(diǎn)，使得成立，等價(jià)于在上有解，即函數(shù)在上的最小值小于零.

，

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為，由可得，∵，∴；

②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，由可得；

③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

可得的最小值為，∵，∴，，所以不成立.

綜上所述：可得所求的取值范圍是.