Question

【題目】如圖，四棱錐中，側面是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面，，，是的中點.

（1）求證：直線平面；

（2）點在棱上，且二面角的余弦值為，求直線與底面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取中點，連結，，根據三角形中位線的性質，得出，，結合條件，可證出四邊形為平行四邊形，得出，最后根據線面平行的判定定理，即可證明直線平面；

（2）建立空間直角坐標系，設，則可得，由圖可知底面法向量，根據空間向量法求出平面的法向量，利用已知的二面角余弦值，求出，得出點坐標，再利用空間向量求線面角的公式，求出直線與底面所成角的正弦值.

解：證明：（1）取中點，連結，，

因為為的中點，所以，，

由，得，

又，所以,//，

則四邊形為平行四邊形，有，

又平面，平面，故平面.

（2）

由已知得，以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

，，

設，則可得，

設平面的一個法向量為，

則，即，

取，則，

又易知底面的一個法向量為，

由于二面角的余弦值為，

∴，

∴，解得或（舍去），

∴，∴，

則，

∴直線與底面所成角的正弦值為.