【題目】如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，.

（1）證明：平面平面；

（2），分別是，的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，若二面角的平面角的大小為，試確定點(diǎn)的位置.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）為線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，且坐標(biāo)為

【解析】

（1）先通過(guò)線(xiàn)面垂直的判定定理證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；

（2）分析位置關(guān)系并建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的余弦值與平面法向量夾角的余弦值之間的關(guān)系，即可計(jì)算出的坐標(biāo)從而位置可確定.

（1）證明：因?yàn)?/span>，，，

所以，即.

又因?yàn)?/span>，，所以，

，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）解：連接，因?yàn)?/span>，是的中點(diǎn)，所以.

由（1）知，平面平面，所以平面.

以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則平面的一個(gè)法向量是，，，.

設(shè)，，

，，

代入上式得，，，所以.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，

由，得.

令，得.

因?yàn)槎娼?/span>的平面角的大小為，

所以，即，解得.

所以點(diǎn)為線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，且坐標(biāo)為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)通過(guò)調(diào)查問(wèn)卷（滿(mǎn)分50分）的形式對(duì)本企業(yè)900名員工的工作滿(mǎn)意程度進(jìn)行調(diào)查，并隨機(jī)抽取了其中30名員工（16名女工，14名男工）的得分，如下表：

女

47

36

32

48

34

44

43

47

46

41

43

42

50

43

35

49

男

37

35

34

43

46

36

38

40

39

32

48

33

40

34

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該企業(yè)得分大于45分的員工人數(shù)；

（2）現(xiàn)用計(jì)算器求得這30名員工的平均得分為40.5分，若規(guī)定大于平局得分為 “滿(mǎn)意”，否則為 “不滿(mǎn)意”，請(qǐng)完成下列表格：

“滿(mǎn)意”的人數(shù)

“不滿(mǎn)意”的人數(shù)

合計(jì)

女員工

16

男員工

14

合計(jì)

30

（3）根據(jù)上述表中數(shù)據(jù)，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法判斷，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的前提下，認(rèn)為該企業(yè)員工“性別”與“工作是否滿(mǎn)意”有關(guān)？

參考數(shù)據(jù)：

P(K2K)

0.10

0.050

0.025

0.010

0.001

K

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校為了了解學(xué)生使用手機(jī)的情況，分別在高一和高二兩個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均使用手機(jī)時(shí)間的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖，將使用手機(jī)時(shí)間不低于80分鐘的學(xué)生稱(chēng)為“手機(jī)迷”.

（I）將頻率視為概率，估計(jì)哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率大？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（II）在高二的抽查中，已知隨機(jī)抽到的女生共有55名，其中10名為“手機(jī)迷”.根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān)？

非手機(jī)迷

手機(jī)迷

合計(jì)

男

女

合計(jì)

附：隨機(jī)變量（其中為樣本總量）.

參考數(shù)據(jù)

0.15

0.10

0.05

0.025

span>2.072

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：①對(duì)于任意的，都有；②對(duì)于任意的都有③函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則下列結(jié)論中正確的是( )

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】近期，西安公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車(chē)活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來(lái)越多的人開(kāi)始使用掃碼支付.某線(xiàn)路公交車(chē)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，表示活動(dòng)推出的天數(shù)，表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表下所示：

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，與（均為大于零的常數(shù)），哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù)，建立與的回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次；

（3）推廣期結(jié)束后，車(chē)隊(duì)對(duì)乘客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：

西安公交六公司車(chē)隊(duì)為緩解周邊居民出行壓力，以萬(wàn)元的單價(jià)購(gòu)進(jìn)了一批新車(chē)，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)可知，每輛車(chē)每個(gè)月的運(yùn)營(yíng)成本約為萬(wàn)元.已知該線(xiàn)路公交車(chē)票價(jià)為元，使用現(xiàn)金支付的乘客無(wú)優(yōu)惠，使用乘車(chē)卡支付的乘客享受折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知，使用掃碼支付的乘客中有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠.預(yù)計(jì)該車(chē)隊(duì)每輛車(chē)每個(gè)月有萬(wàn)人次乘車(chē)，根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，在不考慮其它因素的條件下，按照上述收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，假設(shè)這批車(chē)需要（）年才能開(kāi)始盈利，求的值.

參考數(shù)據(jù)：

其中其中，，

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)從購(gòu)買(mǎi)該平臺(tái)某課程的客戶(hù)中，隨機(jī)抽取了100位客戶(hù)的數(shù)據(jù)，并將這100個(gè)數(shù)據(jù)按學(xué)時(shí)數(shù)，客戶(hù)性別等進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理得到如表：

學(xué)時(shí)數(shù)

男性

18

12

9

9

6

4

2

女性

2

4

8

2

7

13

4

（1）根據(jù)上表估計(jì)男性客戶(hù)購(gòu)買(mǎi)該課程學(xué)時(shí)數(shù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）；

（2）從這100位客戶(hù)中，對(duì)購(gòu)買(mǎi)該課程學(xué)時(shí)數(shù)在20以下的女性客戶(hù)按照分層抽樣的方式隨機(jī)抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取2人，求這2人購(gòu)買(mǎi)的學(xué)時(shí)數(shù)都不低于15的概率．

（3）將購(gòu)買(mǎi)該課程達(dá)到25學(xué)時(shí)及以上者視為“十分愛(ài)好該課程者”，25學(xué)時(shí)以下者視，為“非十分愛(ài)好該課程者”．請(qǐng)根據(jù)已知條件完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有99．9%的把握認(rèn)為“十分愛(ài)好該課程者”與性別有關(guān)？

非十分愛(ài)好該課程者

十分愛(ài)好該課程者

合計(jì)

男性

女性

合計(jì)

100

附：，

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】自新型冠狀病毒疫情爆發(fā)以來(lái)，人們時(shí)刻關(guān)注疫情，特別是治愈率，治愈率累計(jì)治愈人數(shù)／累計(jì)確診人數(shù)，治愈率的高低是“戰(zhàn)役”的重要數(shù)據(jù)，由于確診和治愈人數(shù)在不斷變化，那么人們就非常關(guān)心第天的治愈率，以此與之前的治愈率比較，來(lái)推斷在這次“戰(zhàn)役”中是否有了更加有效的手段，下面是一段計(jì)算治愈率的程序框圖，請(qǐng)同學(xué)們選出正確的選項(xiàng)，分別填入①②兩處，完成程序框圖.（ ）

：第天新增確診人數(shù)；：第天新增治愈人數(shù)；：第天治愈率

A.，B.，

C.，D.，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，正方形AMDE的邊長(zhǎng)為2，B，C分別為AM，MD的中點(diǎn)．在五棱錐P－ABCDE中，F為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC分別交于點(diǎn)G，H.

(1)求證：AB∥FG；

(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE.求直線(xiàn)BC與平面ABF所成角的大小，并求線(xiàn)段PH的長(zhǎng)．

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