Question

【題目】已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）計(jì)算導(dǎo)數(shù)，采用分類討論的方法，，與，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，然后構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，并計(jì)算最值，然后與比較大小，可得結(jié)果.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

①若，即時(shí)，

則，此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為；

②若，時(shí)，

令的兩根為，

，

，

所以的單調(diào)減區(qū)間為，，

單調(diào)減區(qū)間為.

③當(dāng)時(shí)，

，

，

此時(shí)的單調(diào)增區(qū)間為，

單調(diào)減區(qū)間為.

（2）當(dāng)時(shí)，

函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

且，.

則

則

要證，

只需證.

構(gòu)造函數(shù)，

則，

在上單調(diào)遞增，又，

，且在定義域上不間斷，

由零點(diǎn)存在定理可知：

在上唯一實(shí)根，且.

則在上遞減，上遞增，

所以的最小值為.

因?yàn)?/span>，

當(dāng)，，則，

所以恒成立.

所以，

所以，得證.