Question

設(shè)函數(shù)f（x）=﹣x3+2ax2﹣3a2x+b，0＜a＜1．

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值；

（2）若x∈[0，3a]，試求函數(shù)f（x）的最值．

 

Answer 1

（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，a），（3a，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（a，3a）．當x=a時，f（x）的極小值為﹣a3+b；當x=3a時，f（x）的極大值為b．

（2）當x=a時，f（x）的最小值為﹣a3+b；當x=0或x=3a時，f（x）的最大值為b．

【解析】

試題分析：（1）要求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，即求函數(shù)f（x）的f′（x），令f′（x）=0，解出x，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值；

（2）由（1）知函數(shù)當x∈（0，a）時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；當x∈（a，3a）時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)．進而得到函數(shù)f（x）在[0，3a]上的最值．

【解析】
（1）f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2．令f′（x）=0，解得x=a或x=3a，列表：

x	（﹣∞，a）	a	（a，3a）	3a	（3a，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	遞減	﹣a3+b	遞增	b	遞減

 

由表可知：當x∈（﹣∞，a）時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；當x∈（3a，+∞）時，函數(shù)f（x）也為減函數(shù)；當x∈（a，3a）時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)．

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，a），（3a，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（a，3a）．當x=a時，f（x）的極小值為﹣a3+b；當x=3a時，f（x）的極大值為b．

（2）x∈[0，3a]，列表如下：

x	0	（0，a）	a	（a，3a）	3a
f′（x）		﹣	0	+	0
f（x）	b	遞減	﹣a3+b	遞增	b

 

由表知：當x∈（0，a）時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；當x∈（a，3a）時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)．

∴當x=a時，f（x）的最小值為﹣a3+b；當x=0或x=3a時，f（x）的最大值為b．