Question

【題目】設n∈N* ， n≥3，k∈N* ．
（1）求值： ①kCnk﹣nCn﹣1k﹣1；
② （k≥2）；
（2）化簡：12Cn0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：

① =

②

=

= = ．

（2）解：方法一：由（1）可知當k≥2時 = ．

故

= =（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．

方法二：當n≥3時，由二項式定理，有 ，

兩邊同乘以x，得 ，

兩邊對x求導，得 ，

兩邊再同乘以x，得 ，

兩邊再對x求導，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x= ．

令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1= ，

即 =2n﹣2（n2+5n+4）

【解析】（1）利用組合數的計算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知當k≥2時 = ．代入化簡即可得出．方法二：當n≥3時，由二項式定理，有 ，兩邊同乘以x，得 ， 兩邊對x求導，得 ，兩邊再同乘以x，得 兩邊再對x求導，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x= ．
令x=1，即可得出．
【考點精析】本題主要考查了組合與組合數的公式的相關知識點，需要掌握從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合才能正確解答此題．