Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=plnx+（p﹣1）x2+1．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)P=1時(shí)，f（x）≤kx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）證明：1n（n+1）＜1+ …+ （n∈N+）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）= ，

當(dāng)p≥1時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)p≤0時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；

當(dāng)0＜p＜1時(shí)，令f′（x）=0，解得x= ．

則當(dāng)x 時(shí)，f′（x）＞0；x 時(shí)，f′（x）＜0，

故f（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減

（2）解：∵x＞0，

∴當(dāng)p=1時(shí)，f（x）≤kx恒成立1+lnx≤kxk≥ ，

令h（x）= ，則k≥h（x）max，

∵h(yuǎn)′（x）= =0，得x=1，

且當(dāng)x∈（0，1），h′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞），h′（x）＜0；

所以h（x）在0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，

所以h（x）max=h（1）=1，

故k≥1．

（3）證明：由（2）知，當(dāng)k=1時(shí)，有f（x）≤x，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x，即lnx＜x﹣1，

∴令x= ，則 ，即 ，

∴l(xiāng)n2﹣ln1＜1， ，

相加得1n（n+1）＜1+ …+

【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)來討論函數(shù)的單調(diào)性即可，具體的步驟是：（1）確定 f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù) 的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定 的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．（2）當(dāng)P=1時(shí)，f（x）≤kx恒成立，分離參數(shù)等價(jià)于k≥ ，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)h（x）= 的最大值即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）由（2）知，當(dāng)k=1時(shí)，有f（x）≤x，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x，即lnx＜x﹣1，令x= ，則得到 ，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后再相加，即可證得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．