【題目】已知函數(shù)f(x)= sin2x+sinxcosx﹣
(1)求函數(shù)y=f(x)在[0, ]上的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移 個單位長度,再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求證:存在無窮多個互不相同的整數(shù)x0 , 使得g(x0)> .
【答案】
(1)解:f(x)= sin2x+sinxcosx﹣ = = =sin(2x﹣ );
因為2kπ≤2x﹣ ≤2kπ ,∴kπ ≤x≤kπ ,k∈Z,
所以函數(shù)y=f(x)在[0, ]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0, ]
(2)解:將函數(shù)向左平移 個單位長度,再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=g(x)=sinx,g(x0)> .即sinx> ,
所以2kπ <x<2kπ ,k∈Z,
則(2kπ )﹣(2k )= >1,所以對任意的整數(shù)k都存在x0∈(2kπ ,2kπ ),k∈Z,
即存在無窮多個互不相同的整數(shù)x0,使得g(x0)>
【解析】(1)化簡三角函數(shù)式,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間;(2)利用三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律得到函數(shù)y=g(x),然后證明.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性:在上是增函數(shù);在上是減函數(shù),以及對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換的理解,了解圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】先將函數(shù)y=2sinx的圖象縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)壓縮為原來一半,再將得到的圖象向左平移 個單位,則所得圖象的對稱軸可以為( )
A.x=﹣
B.x=
C.x=﹣
D.x=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=plnx+(p﹣1)x2+1.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)P=1時,f(x)≤kx恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)證明:1n(n+1)<1+ …+ (n∈N+).
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【題目】如圖,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB∥CD,AB⊥AD,AD=AB=1.AA1=CD=2.E為棱DD1的中點.
(1)證明:B1C1⊥平面BDE;
(2)求二面角D﹣BE﹣C1的大小.
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【題目】將函數(shù) 的圖象向右平移 個周期后,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為f(x),則函數(shù)f(x)的單
調(diào)遞增區(qū)間( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=f'(1)ex﹣1﹣f(0)x+ 的導(dǎo)數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù))g(x)= +ax+b(a∈R,b∈R)
(Ⅰ)求f(x)的解析式及極值;
(Ⅱ)若f(x)≥g(x),求 的最大值.
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【題目】如圖,已知正方形OABC邊長為3,點M,N分別為線段BC,AB上一點,且2BM=MC,AN=NB,P為△BNM內(nèi)一點(含邊界),設(shè) (λ,μ為實數(shù)),則 的最大值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,我海監(jiān)船在D島海域例行維權(quán)巡航,某時刻航行至A處,此時測得其北偏東30°方向與它相距20海里的B處有一外國船只,且D島位于海監(jiān)船正東18海里處.
(1)求此時該外國船只與D島的距離;
(2)觀測中發(fā)現(xiàn),此外國船只正以每小時4海里的速度沿正南方航行.為了將該船攔截在離D島12海里的E處(E在B的正南方向),不讓其進(jìn)入D島12海里內(nèi)的海域,試確定海監(jiān)船的航向,并求其速度的最小值(角度精確到0.1°,速度精確到0.1海里/小時).
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