Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3

3

，BC=3，沿對角線BD把△BCD折起，使點C移到點P且點P在面ABD內的射影O恰好落在AB上．
（1）求證：AP⊥BP；
（2）求二面角P-BD-A的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由BC⊥CD，AB⊥AD，得折起后，BP⊥DP，由已知得PO⊥平面ABD，從而AD⊥PO，由此AD⊥平面PAB，
從而PB⊥AD，進而BP⊥平面PAD，由此能證明AP⊥BP．
（2）以O為原點，OA為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面PBD的法向量和平面ABD的法向量，由此利用向量法能求出二面角P-BD-A的余弦值．

解答： （1）證明：∵在矩形ABCD中，BC⊥CD，AB⊥AD，
∴折起后，BP⊥DP，
∵沿對角線BD把△BCD折起，使點C移到點P，
且點P在面ABD內的射影O恰好落在AB上，
∴PO⊥平面ABD，又AD?平面ABD，∴AD⊥PO，
又AB∩PO=O，∴AD⊥平面PAB，
又PB?平面PAB，∴PB⊥AD，
∵AD∩DP=D，∴BP⊥平面PAD，
又AP?平面PAD，∴AP⊥BP．
（2）解：以O為原點，OA為y軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標系，
∵在矩形ABCD中，AB=3

3

，BC=3，
∴BP=AD=3，PD=3

3

，∴PA=

PD2-AD2

=3

2

，
∴PO=

BP•PA

AB

=

6

，BO=

BP2-PO2

=

3

，AO=2

3

，
∴P（0，0，

6

），B（0，-

3

，0），D（3，2

3

，0），

PB

=（0，-

3

，-

6

），

PD

=（3，2

3

，-

6

），
設平面PBD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • PB =- 3 y- 6 z=0 n • PD =3x+2 3 y- 6 z=0

，取y=

2

，得

n

=（-

6

，

2

，-1），
又平面ABD的法向量

m

=（0，0，1），
設二面角P-BD-A的平面角為θ，
cosθ=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

6+2+1

=

1

3

，
∴二面角P-BD-A的余弦值為

1

3

．

點評：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關系，線線垂直、二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．