Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，直線l：

x=-3+ 3 t y=2 3 +t

（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè) A（1，0），若橢圓C上的點P滿足到點A的距離與其到直線l的距離相等，求點P的坐標．

Answer 1

考點：橢圓的參數(shù)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系,參數(shù)方程化成普通方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）直接利用三角代換寫出橢圓C的參數(shù)方程，消去此時t可得直線l的普通方程；
（Ⅱ）利用兩點間距離公式以及點到直線的距離公式，通過橢圓C上的點P滿足到點A的距離與其到直線l的距離相等，列出方程，即可求點P的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為為參數(shù)），l：x-

3

y+9=0．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（2cosθ，

3

sinθ），則|AP|=

(2cosθ-1)2+( 3 sinθ)2

=2-cosθ，
P到直線l的距離d=

|2cosθ-3sinθ+9|

2

=

2cosθ-3sinθ+9

2

．
由|AP|=d得3sinθ-4cosθ=5，又sin²θ+cos²θ=1，得sinθ=

3

5

，cosθ=-

4

5

．
故P（-

8

5

，

3 3

5

）．…（10分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，參數(shù)方程的應(yīng)用，點到直線的距離以及兩點間距離公式的應(yīng)用，考查計算能力．