Question

某校為了解高一年段學生的體重情況，先按性別分層抽樣獲取樣本，再從樣本中提取男、女生體重數(shù)據(jù)，最后繪制出如下圖表．已知男生體重在[50，62）的人數(shù)為45．

女生體重數(shù)據(jù)頻數(shù)分布表
體重（公斤）	[36，40）	[40，44）	[44，48）	[48，52）	[52，56）	[56，60）
頻數(shù)	2	18	10	5	3	x

（Ⅰ）根據(jù)以上圖表，計算體重在[56，60）的女生人數(shù)x的值；
（Ⅱ）若從體重在[66，70）的男生和體重在[56，60）的女生中選取2人進行復查，求男、女生各有一人被選中的概率；
（Ⅲ）若體重在[50，54），[54，58），[58，62）的男生人數(shù)比為3：5：7，試估算高一年段男生的平均體重．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用男生體重數(shù)據(jù)頻率分布直方圖，直接求解體重落在區(qū)間[50，62）的頻率，得到男生體重在[50，62）的人數(shù)，按性別分層抽樣，根據(jù)餅圖描述的男，女生人數(shù)比，求出體重落在區(qū)間[56，60]的女生人數(shù)．（Ⅱ）體重落在區(qū)間[66，70]的男生人數(shù)．記體重落在[66，70]的3名男生為A，B，C，體重落在[56，60]的2名女生為a，b．列出所有基本事件個數(shù)．記“男、女生各有一人被選中”的事件為R的數(shù)目，利用古典概率模型求解即可．
（Ⅲ）利用體重在[50，54），[54，58），[58，62）的男生人數(shù)比為3：5：7，推出男生第2，3，4組體重數(shù)據(jù)的頻率分別為0.15，0.25，0.35，男生第1，5，6組體重數(shù)據(jù)的頻率．即可估計高一年段男生平均體重．

解答： 解：（Ⅰ）由男生體重數(shù)據(jù)頻率分布直方圖可知，體重落在區(qū)間[50，62）的頻率為1-（0.025+0.025+0.0125）×4=0.75．                        
因為男生體重在[50，62）的人數(shù)為45，
所以本次抽樣中男生抽取的總人數(shù)為45÷0.75=60．
因為樣本是按性別分層抽樣獲取的，
所以根據(jù)餅形圖描述的男，女生人數(shù)比，可知女生抽取的總人數(shù)為40．
所以體重落在區(qū)間[56，60]的女生人數(shù)為x=40-（2+18+10+5+3）=2． 
（Ⅱ）體重落在區(qū)間[66，70]的男生人數(shù)為60×0.0125×4=3．
記體重落在[66，70]的3名男生為A，B，C，體重落在[56，60]的2名女生為a，b．
則事件“從體重在[66，70）的男生和體重在[56，60）的女生中選取2人進行復查”包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（B，C），（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b），總數(shù)為10．
記“男、女生各有一人被選中”的事件為R，則事件R包含的基本事件有：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），共6個．
因為事件空間中基本事件個數(shù)有限，且每個基本事件發(fā)生的可能性相同，所以該概率模型屬于古典概率模型，
所以男、女生各有一人被選中的概率P(A)=

6

10

=

3

5

． 
（Ⅲ）因為體重在[50，54），[54，58），[58，62）的男生人數(shù)比為3：5：7，
又由（Ⅰ）可知體重落在區(qū)間[50，62）的頻率為0.75，
所以男生第2，3，4組體重數(shù)據(jù)的頻率分別為0.15，0.25，0.35．
因為由直方圖可知，男生第1，5，6組體重數(shù)據(jù)的頻率分別為0.1，0.1，0.05，
所以樣本中60名男生的平均體重約為：48×0.1+52×0.15+56×0.25+60×0.35+64×0.1+68×0.05=57.4．
以樣本估計總體，可以估計高一年段男生平均體重為57.4公斤．

點評：本小題主要考查頻率分布直方圖、頻率分布圖表、古典概型、用頻率估計概率的統(tǒng)計思想等統(tǒng)計與概率的基礎知識，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應用意識，考查必然與或然思想等．