Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，其中a₁=1，a₇=13
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an•an+1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，當不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立時，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁=1，a₇=13，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由（1）可得：b_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂項求和”可得T_n=

n

2n+1

．數(shù)列{b_n}的前n項和，當不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立時，對n分類討論．①當n為偶數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立，只需不等式λ＜

(2n+1)(n+8)

n

=2n+

8

n

+17恒成立即可，利用基本不等式的性質可得2n+

8

n

的最小值．②當n為奇數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立時，只需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立即可，考察2n-

8

n

的單調性即可得出．

解答： 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁=1，a₇=13，
∴1+6d=13，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
數(shù)列{b_n}的前n項和，當不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立時，對n分類討論．
①當n為偶數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立，只需不等式λ＜

(2n+1)(n+8)

n

=2n+

8

n

+17恒成立即可，
∵2n+

8

n

≥8，等號在n=2時取得，∴λ＜25．
②當n為奇數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ（n∈N^*）恒成立時，只需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立即可，
∵2n-

8

n

是隨n的增大而增大，
∴n=1時，2n-

8

n

取得最小值-6，∴λ＜-21．
綜合①②可得：λ的取值范圍是（-∞，-21）．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、基本不等式的性質、數(shù)列的單調性，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．