Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)，并且）.

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否存在極值點，并說明理由；

（2）若當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）無極值點；（2）0.

【解析】

（1）由題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號考查函數(shù)是否存在極值點即可；

（2）由題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此討論實數(shù)k的最小值即可．

（1），

令，則f'（x）＝exg（x），

恒成立，所以g（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，

所以g（x）＜g（1）＝a﹣1≤0，所以f'（x）＝0在（1，e）內(nèi)無解．

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e）內(nèi)無極值點．

（2）當(dāng)a＝ln2時，f（x）＝ex（﹣x+lnx+ln2），定義域為（0，+∞），

，令，

由（Ⅰ）知，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又，h（1）＝ln2﹣1＜0，

所以存在，使得h（x1）＝0，且當(dāng)x∈（0，x1）時，h（x）＞0，即f'（x）＞0，

當(dāng)x∈（x1，+∞）時，h（x）＜0，即f'（x）＜0．

所以f（x）在（0，x1）上單調(diào)遞增，在（x1，+∞）上單調(diào)遞減，

所以．

由h（x1）＝0得，即，

所以，

令，則恒成立，

所以r（x）在上單調(diào)遞增，所以，所以f（x）max＜0，

又因為，

所以﹣1＜f（x）max＜0，所以若f（x）＜k（k∈Z）恒成立，則k的最小值為0．