【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),且,若在上至少存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)求證:對(duì)任意的正整數(shù),都有成立.
【答案】(1)(2)(3)見解析
【解析】
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.
由知,
要使在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù),只須,即在內(nèi)恒成立.
于是,注意到,等號(hào)在時(shí)成立,即在時(shí)有最大值1.從而.
(2)解法一:注意到在上是減函數(shù),所以,即.
當(dāng)時(shí),由,得,故,不合題意.
當(dāng)時(shí),由(1)知在上是增函數(shù),.
又在上是減函數(shù),所以原命題等價(jià)于,,由,解得.
綜上,的取值范圍是.
解法二:原命題等價(jià)于在上有解,設(shè)
.
因?yàn)?/span>,
故是增函數(shù),所以,解得.
所以的取值范圍是.
(3)令,則由(1)知在內(nèi)為單調(diào)減函數(shù).
由于,故當(dāng)時(shí),有,即.
因此,,
即,故.
于是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),為常數(shù),并且).
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否存在極值點(diǎn),并說明理由;
(2)若當(dāng)時(shí),恒成立,求整數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以橢圓:的中心為圓心,為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”,設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,且滿足,.
(1)求橢圓及其“準(zhǔn)圓"的方程;
(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),試求直線交“準(zhǔn)圓”所得的弦長(zhǎng);
(3)射線與橢圓的“準(zhǔn)圓”交于點(diǎn),若過點(diǎn)的直線,與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn),且與橢圓的“準(zhǔn)圓”分別交于,兩點(diǎn),試問弦是否為”準(zhǔn)圓”的直徑?若是,請(qǐng)給出證明:若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=ax2+(1-a)x+a-3.
(1)若不等式f(x)≥-3對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)解關(guān)于x的不等式f(x)<a-2(a∈R).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn),離心率等于.
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),若,,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中錯(cuò)誤的是__________(填序號(hào))
①命題“,有”的否定是“”,有”;
②已知, , ,則的最小值為;
③設(shè),命題“若,則”的否命題是真命題;
④已知, ,若命題為真命題,則的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)且與軸相切,點(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)為,點(diǎn)的軌跡為
(1)求曲線的方程;
(2)一條直線經(jīng)過點(diǎn),且交曲線于、兩點(diǎn),點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn).
①求證:不可能是鈍角;
②是否存在這樣的點(diǎn),使得是正三角形?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);否則,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn),求證: ;
(Ⅱ)設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn),且恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(其中正
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