Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁a₂a₃…a_n=(

2

)bn（n∈N^*）．若{a_n}為等比數(shù)列，且a₁=2，b₃=6+b₂
（1）求a_n與b_n；
（2）設(shè)C_n=

1

bn

，求證：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜1；
（3）設(shè)d_n=log₂a_2n-1，求m，k（m，k∈N^*）的值，使得d_m+d_m+1+d_m+2+…+d_m+k=65．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）先利用前n項(xiàng)積與前（n-1）項(xiàng)積的關(guān)系，得到等比數(shù)列{a_n}的第三項(xiàng)的值，結(jié)合首項(xiàng)的值，求出通項(xiàng)a_n，然后現(xiàn)利用條件求出通項(xiàng)b_n；
（2）直接利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，然后放縮得答案；
（3）把a(bǔ)_2n-1代入d_n=log₂a_2n-1，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得d_m+d_m+1+d_m+2+…+d_m+k，并由其等于65，通過(guò)分析65的因數(shù)得到

k+1=5 2m+k-1=13

，從而求得m，k的值．

解答： （1）解：∵a₁a₂a₃…a_n=(

2

)bn ①，
當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，a1a2a3…an-1=(

2

)bn-1 ②，
由①②知：an=(

2

)bn-bn-1，
令n=3，則有a3=(

2

)b3-b2．
∵b₃=6+b₂，
∴a₃=8．
∵{a_n}為等比數(shù)列，且a₁=2，
設(shè){a_n}的公比為q，則q2=

a3

a1

=4，
由題意知a_n＞0，∴q=2．
∴an=2n（n∈N^*）．
又由a₁a₂a₃…a_n=(

2

)bn，得：
21•22•23…2n=(

2

)bn，
即2

n(n+1)

2

=(

2

)bn，
∴b_n=n（n+1）（n∈N^*）；
（2）證明：C_n=

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1；
（3）解：d_n=log₂a_2n-1=log222n-1=2n-1，
則d_m+d_m+1+d_m+2+…+d_m+k=（2m-1）+（2m+1）+…+（2m+2k-1）=

(2m-1+2m+2k-1)(k+1)

2

，
由

(2m-1+2m+2k-1)(k+1)

2

=65，得（2m+k-1）（k+1）=65．
∵m，k∈N^*，∴（2m+k-1），（k+1）∈N^*，
則

k+1=5 2m+k-1=13

，解得：m=5，k=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于（3）的求解，正確掌握65的因數(shù)是關(guān)鍵，是中檔題．