已知α∈(-
π
2
，0)，cos(α+
π
12
)=
2
3
，則sin(2α+
π
3
)=
-
4
15
+1
18
-
4
15
+1
18
．
分析：視角α+
π
12
看作整體，將2α+
π
3
轉化為 2（α+
π
12
）+
π
6
，利用兩角和的正弦公式，二倍角公式計算化簡．
解答：解：∵α∈(-
π
2
，0)，cos(α+
π
12
)=
2
3
，∴cos2(α+
π
12
)=2cos2(α+
π
12
)-1=2×
4
9
-1=-
1
9
＜0，
而2（α+
π
12
）∈（-
5π
6
，
π
6
），所以2（α+
π
12
）∈（-
5π
6
，-
π
2
），
所以sin2(α+
π
12
)=-
1-(-
1
9
)2
=-
4
5
9
，
所以sin(2α+
π
3
)=sin[2（α+
π
12
）+
π
6
]=sin[2（α+
π
12
）]cos
π
6
+cos[2（α+
π
12
）sin
π
6
]
=（-
4
5
9
）×
3
2
+(-
1
9
)×
1
2

=-
4
15
+1
18

故答案為：-
4
15
+1
18
．
點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)值的計算，二倍角公式的應用，考查角的代換，轉化、計算能力．將2α+
π
3
轉化為 2（α+
π
12
）+
π
6
是關鍵，在求sin2(α+
π
12
)時，應盡可能縮小2（α+
π
12
）的取值范圍，使sin2(α+
π
12
)的正負取值準確化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知α?(-
π
2
，0)，sinα=-
3
5
，則cos（π-α）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知α∈(-
π
2
，0)，cosα=
3
5
，則tan(α+
π
4
)=
-
1
7
-
1
7
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•杭州模擬）已知α∈(-
π
2
，0)，sinα=-
4
5
，則tan(α+
π
4
)等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知α∈(-
π
2
，0)，且cosα=
4
5
，則sin2α=
-
24
25
-
24
25
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•順德區(qū)模擬）已知α∈(-
π
2
，0)，cosα=
3
5
，則tan(α+
π
4
)=（　　）

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