Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．滿足b（sinB-

2

sinC）=（a+c）（sinA-sinC），

AB

•

BC

≥0．
（1）求A的值；
（2）若a=

2

．求b-

2

c的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦定理,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用正弦定理和余弦定理即可得出；
（2）利用向量的夾角公式、正弦定理、兩角和差的正弦余弦公式及其余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）由b（sinB-

2

sinC）=（a+c）（sinA-sinC）可得b(b-

2

c)=(a+c)(a-c)，
化為b2+c2-a2=

2

bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

2

2

，
又A∈（0，π），∴A=

π

4

．
（2）∵

AB

•

BC

≥0，∴B為鈍角或直角．）
于是0＜A+C≤

π

2

，又A=

π

4

，∴0＜C≤

π

4

，
由正弦定理可知，2R=

a

sinA

=

2

2 2

=2，
∴b-

2

c=2sinB-2

2

sinC=2sin(

3π

4

-C)-2

2

sinC=2cos(C+

π

4

)，
又0＜C≤

π

4

，∴

π

4

＜C+

π

4

≤

π

2

，
∴0≤cos(C+

π

4

)＜

2

2

，∴2cos(C+

π

4

)∈[0，

2

)．

點評：本題綜合考查了正弦定理和余弦定理、向量的夾角公式、兩角和差的正弦余弦公式及其余弦函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．