Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2bcosA=2c+

2

a．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）求sinA+

2

sinC的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，代入已知等式左邊，整理后得到關系式，再利用余弦定理表示出cosB，將得出的關系式代入求出cosB的值，即可確定出角B的度數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)B的度數(shù)求出A+C的度數(shù)，用A表示出C，代入所求式子，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式公式，整理后根據(jù)cosA的值域即可確定出原式的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）將cosA=

b2+c2-a2

2bc

代入已知等式得：2b•

b2+c2-a2

2bc

=2c+

2

a，
整理得：b²+c²-a²=2c²+

2

ac，即a²+c²-b²=-

2

ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

2

2

，
則B=

3π

4

；
（Ⅱ）∵B=

3π

4

，∴A+C=

π

4

，即C=

π

4

-A，
∴sinA+

2

sinC=sinA+

2

sin（

π

4

-A）=sinA+

2

（

2

2

cosA-

2

2

sinA）=sinA+cosA-sinA=cosA，
∵0＜A＜

π

4

，
∴

2

2

＜cosA＜1，
則sinA+

2

sinC的范圍為（

2

2

，1）．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及余弦函數(shù)的值域，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．