Question

PM2.5是指大氣中直徑小于或等于微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米至75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)，北方城市環(huán)保局從該市市區(qū)2013年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)的抽取20天的數(shù)據(jù)作為樣本，發(fā)現(xiàn)空氣質(zhì)量為一級(jí)的有4天，為二級(jí)的有10天，超標(biāo)的有6天．
（1）從這20天的日均PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天數(shù)據(jù)，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；
（2）從這20天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）根據(jù)這20天的PM2.5日均值來估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按365天計(jì)算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）這20天的日均PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天數(shù)據(jù)，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)，共有

C

3 20

種情況，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)，共有

C

1 4

C

1 16

種情況，由此可求概率；
（2）ξ的可能值為0，1，2，3，故可得其分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率為

14

20

=0.7，一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)η～B（360，0.7），求出期望，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意，空氣質(zhì)量為一級(jí)的有4天，為二級(jí)的有10天，超標(biāo)的有6天．
記“這20天的日均PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天數(shù)據(jù)，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A
則P(A)=

C 1 4 C 2 16

C 3 20

=

8

19

；
（2）ξ的可能值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 0 6 C 3 14

C 3 20

=

91

285

，P（ξ=1）=

C 1 6 C 2 14

C 3 20

=

91

190

，P（ξ=2）=

C 2 6 C 1 14

C 3 20

=

7

38

，P（ξ=3）=

C 3 6

C 3 20

=

1

57

，
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	91 285	91 190	7 38	1 57

Eξ=

91

285

×0+

91

190

×1+

7

38

×2+

1

57

×3=

171

190

；
（3）20天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的頻率為

14

20

=0.7
所以365×0.7=255.5，
所以估計(jì)一年中有255.5天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于中檔題．