Question

在直角坐標系中，如果兩點A（a，b），B（-a，-b）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，那么稱[A，B]為函數(shù)f（x）的一組關(guān)于原點的中心對稱點（[A，B]與[B，A]看作一組）．函數(shù)g（x）=

sin π 2 x，  x＜0 log4(x+1)，x＞0

關(guān)于原點的中心對稱點的組數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由[A，B]為函數(shù)f（x）的一組關(guān)于原點的中心對稱點的定義，轉(zhuǎn)化為方程的解，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點個數(shù)，作圖得到答案．

解答：解：∵函數(shù)g（x）=

sin π 2 x，  x＜0 log4(x+1)，x＞0

，
∴函數(shù)g（x）關(guān)于原點的中心對稱點A，B會分別在g（x）=sin

π

2

x與g（x）=log₄（x+1）上，
不妨設(shè)A（a，b）（a＞0）滿足g（x）=log₄（x+1），即log₄（a+1）=b，
則sin

π

2

（-a）=-sin

π

2

a=-b，即sin

π

2

a=b，
則a是方程sin

π

2

x=log₄（x+1）在（0，+∞）上的解，
即函數(shù)y=sin

π

2

x與函數(shù)y=log₄（x+1）在（0，+∞）上交點的橫坐標，
函數(shù)y=sin

π

2

x與函數(shù)y=log₄（x+1）圖象如下：

由圖可知只有一個交點在（0，+∞）上．
故答案為：1．

點評：本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，同時考查了學生對新定義的接受能力與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．