Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=CB=CC₁=2，E是AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥平面A₁CE；
（Ⅱ）求直線A₁C₁與平面A₁CE所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，可知CC₁⊥AC，CC₁⊥BC，∠ACB=90°，AC⊥BC．建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．則A，B₁，E，A₁，可得，

AB1

，

CE

，

CA1

可知，
根據(jù)

AB1

•  

CE

=0，

AB1

•  

CA1

=0，推斷出AB₁⊥CE，AB₁⊥CA₁，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AB₁⊥平面A₁CE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

AB1

是平面A₁CE的法向量，

C1A

1 =

CA

 =  (2， 0 ，0)，進(jìn)而利用向量數(shù)量積求得直線A₁C₁與平面A₁CE所成角的正弦值

解答： （Ⅰ）證明：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴CC₁⊥AC，CC₁⊥BC，
又∠ACB=90°，
即AC⊥BC．
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．A（2，0，0），B₁（0，2，2），E（1，1，0），A₁（2，0，2），
∴

AB1

=(-2， 2， 2)，

CE

= (1， 1， 0)，

CA1

= (2， 0， 2)．
又因?yàn)?nbsp;

AB1

•  

CE

=0，

AB1

•  

CA1

=0，
∴AB₁⊥CE，AB₁⊥CA₁，AB₁⊥平面A₁CE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，

AB1

=(-2， 2， 2)是平面A₁CE的法向量，

C1A

1 =

CA

 =  (2， 0 ，0)，
∴|cos＜

C1A1

，

AB1

＞|=

|C1A1 • AB1 |

| C1A1 || AB1 |

=

3

3

．
設(shè)直線A₁C₁與平面A₁CE所成的角為θ，則sinθ=|cos＜

C1A1

，

AB1

＞|=

3

3

．
所以直線A₁C₁與平面A₁CE所成角的正弦值為

3

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面垂直的判定定理，向量的數(shù)量積的運(yùn)用，法向量的運(yùn)用．綜合考查了學(xué)生所學(xué)知識的靈活運(yùn)用．