Question

1．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinωx，cosωx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosωx，cosωx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（ω＞0），若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，且f（x）的圖象上兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足c=$\sqrt{3}$，f（C）=$\frac{1}{2}$，b=2a，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算得到f（x）的解析式，降冪后利用兩角和的正弦化簡，根據(jù)f（x）的圖象上兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$求得ω值，得到具體的函數(shù)解析式，再由相位位于正弦函數(shù)的減區(qū)間內(nèi)求得x的范圍得答案；
（Ⅱ）由f（C）=$\frac{1}{2}$求得C，寫出余弦定理，結(jié)合b=2a聯(lián)立方程組求得a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinωx，cosωx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosωx，cosωx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sinωxcosωx+（cosωx-\frac{\sqrt{2}}{2}）（cosωx+\frac{\sqrt{2}}{2}）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+co{s}^{2}ωx-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{1+cos2ωx}{2}-\frac{1}{2}$=$sin（2ωx+\frac{π}{6}）$．
∵f（x）的圖象上兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，∴$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，即T=π．
∴2$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，
則$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$．
由2kπ$≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=$\frac{1}{2}$，得$sin（2C+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴2C$+\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}$），則$2C+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，C=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理得：$（\sqrt{3}）^{2}={a}^{2}+^{2}-2abcos\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab=3，①
又b=2a，②
聯(lián)立①②解得：a=1，b=2．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，訓(xùn)練了利用余弦定理求解三角形，屬中檔題．