6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2sinA，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos2$\frac{A}{2}$-1，cos2A），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求銳角A的大��；
（Ⅱ）如果b=2，c=6，AD⊥BC于D，求AD的長．

分析 （Ⅰ）由兩向量垂直得到tan2A=-$\sqrt{3}$，由此得到A．
（Ⅱ）由余弦定理得到a，再由三角形面積公式得到AD的長．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2sinA，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos2$\frac{A}{2}$-1，cos2A），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2sinA（2cos2A-1）+$\sqrt{3}$cos2A=sin2A+$\sqrt{3}$cos2A=0，
∴tan2A=-$\sqrt{3}$，
∵A為銳角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=28，
∴a=2$\sqrt{7}$，
∵△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$a•AD，
∴AD=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查兩向量垂直的坐標(biāo)表示和余弦定理以及三角形面積公式．

練習(xí)冊系列答案
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12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l1經(jīng)過橢圓C的上頂點(diǎn)P且與圓x2+y2=4交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P作l1的垂線l2交橢圓C于另一點(diǎn)D，當(dāng)△ABD的面積取得最大值時(shí)，求直線l1的方程．

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17．已知函數(shù)$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）+2{cos^2}x$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間$[0\;，\;\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

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14．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性并用定義法證明；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

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1．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinωx，cosωx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosωx，cosωx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（ω＞0），若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，且f（x）的圖象上兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足c=$\sqrt{3}$，f（C）=$\frac{1}{2}$，b=2a，求a，b的值．

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11．已知f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x+cos2x-$\frac{1}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間$[{0，\;\frac{π}{2}}]$的最大值；
（Ⅱ）若f（x0）=$\frac{1}{3}$，${x_0}∈[{\frac{π}{6}，\;\frac{5π}{12}}]$，求sin2x0的值．

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18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x2+mlnx+x
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x2，試問過點(diǎn)P（1，3）存在多少條直線與曲線y=g（x）相切？并說明理由．

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15．已知sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，α∈（0，π），則$\frac{sinα-cosα}{{sin\frac{7π}{12}}}$的值為$\frac{\sqrt{17}（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{3}$．

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16．已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，其中n∈N*．
（1）若a1=b1=2，a3-b3=9，a5=b5，試分別求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)A={k|ak=bk，k∈N*}，當(dāng)數(shù)列{bn}的公比q＜-1時(shí)，求集合A的元素個(gè)數(shù)的最大值．

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