Question

9．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$cosωxcos（ωx+$\frac{π}{2}$）+2sin²ωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{3}，π}]$上的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=-2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1，利用函數(shù)f（x）的最小正周期為π，ω＞0，可得$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω即可，寫出函數(shù)解析式，相位在正弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)求解x的取值范圍得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，x∈$[{\frac{π}{3}，π}]$，通過(guò)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，即可求得函數(shù)f（x）取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=-2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+1-cos2ωx           …（2分）
=-$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+1
=-2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1                             …（4分）
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1．                                            …（5分）
∴f（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．     …（8分）
（Ⅱ）∵$\frac{π}{3}$≤x≤π，
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]單調(diào)遞增，在區(qū)間[$\frac{2π}{3}$，π]單調(diào)遞減，…（10分）
f（$\frac{π}{3}$）=-2sin$\frac{5π}{6}$+1=0，f（$\frac{2π}{3}$）=-2sin$\frac{3π}{2}$+1=3，f（π）=-2sin$\frac{π}{6}$+1=0，
因此f（x）的取值范圍為[0，3]．                            …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)中的恒等變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，復(fù)合三角函數(shù)的最值，熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．