如圖，已知是長軸為的橢圓上三點，點是長軸的一個頂點，過橢圓中心，且.

(1)建立適當?shù)淖鴺讼�，求橢圓方程；
(2)如果橢圓上兩點使直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，是否總存在實數(shù)使?請給出證明．

(1)(2) 存在實數(shù)使證明：設直線的方程為，所以直線的方程為由橢圓方程與直線的方程聯(lián)立，消去得
，所以同理
又，所以，所以，即存在實數(shù)使成立

解析試題分析：(1)以為原點，所在的直線為軸建立如圖所示的直角坐標系，則，橢圓方程可設為

而為橢圓中心，由對稱性知
又，所以
又，所以
所以為等腰直角三角形，所以點的坐標為
將 代入橢圓方程得   則橢圓方程為
(2)由直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，設直線的斜率為，
則直線的斜率為，直線的方程為，
直線的方程為
由橢圓方程與直線的方程聯(lián)立，消去得
     ①
因為在橢圓上，所以是方程①的一個根，于是
  同理
這樣，
又，所以
即.所以，即存在實數(shù)使.
考點：求橢圓方程及直線與橢圓相交韋達定理的應用
點評：本題對于高二文科學生有一定的難度，可區(qū)分出優(yōu)秀學生與一般學生

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分16分）
已知橢圓的離心率為，一條準線．

（1）求橢圓的方程；
（2）設O為坐標原點，是上的點，為橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于兩點．
①若，求圓的方程；
②若是l上的動點，求證：點在定圓上，并求該定圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓:的一個頂點為，離心率為.直線與橢圓交于不同的兩點M,N.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當△AMN得面積為時，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）

過拋物線焦點垂直于對稱軸的弦叫做拋物線的通徑。如圖，已知拋物線，過其焦點F的直線交拋物線于、 兩點。過、作準線的垂線，垂足分別為、.

（1）求出拋物線的通徑，證明和都是定值，并求出這個定值；
（2）證明： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

動圓經(jīng)過定點，且與直線相切。
（1）求圓心的軌跡方程；
（2）直線過定點與曲線交于、兩點：
①若，求直線的方程；
②若點始終在以為直徑的圓內，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”。若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.
（Ⅰ）求橢圓的方程和其“準圓”方程.
（Ⅱ）點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線使得與橢圓都只有一個交點，且分別交其“準圓”于點，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知橢圓M的中心為坐標原點 ，且焦點在x軸上，若M的一個頂點恰好是拋物線的焦點，M的離心率，過M的右焦點F作不與坐標軸垂直的直線，交M于A，B兩點。
（1）求橢圓M的標準方程；
（2）設點N（t，0）是一個動點，且，求實數(shù)t的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（滿分10分）（Ⅰ） 設橢圓方程的左、右頂點分別為，點M是橢圓上異于的任意一點，設直線的斜率分別為，求證為定值并求出此定值；
（Ⅱ）設橢圓方程的左、右頂點分別為，點M是橢圓上異于的任意一點，設直線的斜率分別為，利用（Ⅰ）的結論直接寫出的值。（不必寫出推理過程）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(本題滿分12分)已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M(-3，m)到焦點的距離為5，求拋物線的方程和m的值．

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