已知a,b為常數(shù),a¹0,函數(shù)
(1)若a=2,b=1,求在(0,+∞)內(nèi)的極值;
(2)①若a>0,b>0,求證:在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù);
②若,,且在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),求由所有點形成的平面區(qū)域的面積.

(1),(2)①詳見解析,②

解析試題分析:(1)求具體函數(shù)極值問題分三步,一是求導(dǎo),二是求根,三是列表,關(guān)鍵在于正確求出導(dǎo)數(shù),即;求根時需結(jié)合定義區(qū)間進(jìn)行取舍,如根據(jù)定義區(qū)間舍去負(fù)根;列表時需注意導(dǎo)數(shù)在對應(yīng)區(qū)間的符號變化規(guī)律,這樣才可得出正確結(jié)論,因為導(dǎo)數(shù)為零的點不一定為極值點,極值點附近導(dǎo)數(shù)值必須要變號,(2)①利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性,首先要正確轉(zhuǎn)化,如本題只需證到在區(qū)間[1,2]上成立即可,由得只需證到在區(qū)間[1,2]上,因為對稱軸在區(qū)間[1,2]上單調(diào)增,因此只需證,而這顯然成立,②中條件“在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)”與①不同,它是要求在區(qū)間[1,2]上恒成立,結(jié)合二次函數(shù)圖像可得關(guān)于不等關(guān)系,再考慮,,可得可行域.
試題解析:(1)解:      2分
當(dāng)時, ,
(舍去)     4分
當(dāng)時, 是減函數(shù),
當(dāng)時, 是增函數(shù)
所以當(dāng)時, 取得極小值為     6分
(2)令  
① 證明: 二次函數(shù)的圖象開口向上,
對稱軸且       8分
對一切恒成立.
對一切恒成立.
函數(shù)圖象是不間斷的,
在區(qū)間上是增函數(shù).     10分
②解:

在區(qū)間上是增函數(shù)
恒成立.
恒成立.
     12分
在(*)(**)的條件下,
恒成立.
綜上,點滿足的線性約束條件是     14分
由所有點形成的平面區(qū)域為 (如圖所示),
其中

的面積為.     16分
考點:求函數(shù)極值,二次函數(shù)恒成立,線性規(guī)劃求面積.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln xa∈R.
(1)若曲線yf(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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已知圖像過點,且在處的切線方程是.
(1)求的解析式;
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.

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已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若存在使不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,現(xiàn)要在邊長為的正方形內(nèi)建一個交通“環(huán)島”.正方形的四個頂點為圓心在四個角分別建半徑為不小于)的扇形花壇,以正方形的中心為圓心建一個半徑為的圓形草地.為了保證道路暢通,島口寬不小于,繞島行駛的路寬均不小于.

(1)求的取值范圍;(運算中
(2)若中間草地的造價為,四個花壇的造價為,其余區(qū)域的造價為,當(dāng)取何值時,可使“環(huán)島”的整體造價最低?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a>0).
(I)當(dāng)a=2時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(Ⅱ)若對于任意的x∈(0,+),都有f(x)<0,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù),(其中為常數(shù));
(Ⅰ)如果函數(shù)有相同的極值點,求的值;
(Ⅱ)設(shè),問是否存在,使得,若存在,請求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)記函數(shù),若函數(shù)有5個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知數(shù)列的前n項和為Sn,對一切正整數(shù)n,點在函數(shù)的圖像上,且過點的切線的斜率為kn
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若,求數(shù)列的前n項和Tn

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已知曲線.
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線的斜率為1的切線方程;
(Ⅱ)設(shè)斜率為的兩條直線與曲線相切于兩點,求證:中點在曲線上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,又已知直線的方程為:,求的值.

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