Question

已知函數(shù)f（x）=（nx-n+2）e^x（其中n∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)參數(shù)n的范圍進(jìn)行分區(qū)間討論，以確定f（x）在[0，1]上的最大值

解答： 解：f′（x）=（nx+2）e^x，
當(dāng)n≥0時(shí)，導(dǎo)數(shù)為正，故函數(shù)f（x）在[0，1]上增，此時(shí)最大值為f（1）=（n-n+2）e¹=2e
當(dāng)n＜0時(shí)，令導(dǎo)數(shù)為0，解得x=-

2

n

＞0，故當(dāng)-

2

n

≥1時(shí)，即-2≤n＜0，函數(shù)f（x）在[0，1]上減，此時(shí)最大值為f（0）=（-n+2）e⁰=2-n
當(dāng)0＜-

2

n

＜1時(shí)，即n＜-2時(shí)，由于f（0）=（-n+2）e⁰=2-n＞4，f（1）=（n-n+2）e¹=2e，故最大值為max{2-n，2e}
綜上，n≥0時(shí)，f（x）_max=2e；當(dāng)-2≤n＜0時(shí)，最大值為2-n，當(dāng)n＜-2時(shí)，最大值為max{2-n，2e}．

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是解答本題的關(guān)鍵，本題考查了分類討論的思想