Question

先解答（1），再通過結構類比解答（2）：
（1）請用tanx表示tan（x+

π

4

），并寫出函數(shù)y=tan（x+

π

4

）的最小正周期；
（2）設x∈R，a為非零常數(shù)，且f（x+2a）=

1+f(x)

1-f(x)

，試問f（x）是周期函數(shù)嗎？證明你的結論．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由兩角和的正切公式可得示tan（x+

π

4

），易得函數(shù)的周期；（2）類比可得f（x）是以8a為其一個周期的周期函數(shù)，由周期的定義證明即可．

解答： 解：（1）由兩角和的正切公式可得tan(x+

π

4

)=

tanx+tan π 4

1-tanxtan π 4

=

1+tanx

1-tanx

；
函數(shù)y=tan(x+

π

4

)的最小正周期為π；
（2）f（x）是以8a為其一個周期的周期函數(shù)，下面證明：
∵f(x+4a)=f((x+2a)+2a)=

1+f(x+2a)

1-f(x+2a)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
∴f(x+8a)=f((x+4a)+4a)=-

1

f(x+4a)

=-

1

- 1 f(x)

=f(x)，
∴f（x）是周期函數(shù)，其中一個周期為8a

點評：本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，涉及三角函數(shù)的周期性，屬中檔題．