Question

【題目】已知橢圓 的離心率 ，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣a，0），點(diǎn)Q（0，y0）在線段AB的垂直平分線上，且 ，求y0的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由e= ，得3a2=4c2．

再由c2=a2﹣b2，解得a=2b．

由題意可知 ，即ab=2．

解方程組 得a=2，b=1．

所以橢圓的方程為

（2）解：由（Ⅰ）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，0）．

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x1，y1），直線l的斜率為k．

則直線l的方程為y=k（x+2）．

于是A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．

由 ，得 ．從而 ．

所以 ．

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，

則M的坐標(biāo)為 ．

以下分兩種情況：

①當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），

線段AB的垂直平分線為y軸，

于是 ．

由 ，得 ．

②當(dāng)k≠0時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為

．

令x=0，解得 ．

由 ， ，

=

= ，

整理得7k2=2．故 ．

所以 ．

綜上， 或

【解析】（1）由離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)c2=a2﹣b2求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù) 求得a和b，則橢圓的方程可得．（2）由（1）可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線l的斜率，表示出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，由韋達(dá)定理求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)而利用直線方程求得其縱坐標(biāo)表達(dá)式，表示出|AB|進(jìn)而求得k，則直線的斜率可得．設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，當(dāng)k=0時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，進(jìn)而根據(jù) 求得y0；當(dāng)k≠0時(shí)，可表示出線段AB的垂直平分線方程，令x=0得到y(tǒng)0的表達(dá)式根據(jù) 求得y0；綜合答案可得．